专升本 · 高等数学讲义

函数、极限与连续 · 一元函数微积分 · 向量代数与空间解析几何 · 多元函数微积分 · 常微分方程 · 无穷级数 · 线性代数 · 概率论初步

点开每道例题下面的「查看参考答案」,先自己做,再对答案。

第一部分　高等数学

第一章　函数、极限与连续

第一节　函数

一、函数的概念

（一）定义

（二）表示法

（1）解析法（也称公式法），如 $y = f (x)$ ；

（2）图形；

（3）列表法．

（三）特殊函数

1.分段函数

2.隐函数

3.参数方程确定的函数： ${x = x (t) y = y (t)$

二、函数的基本特性

（一）有界性

（二）单调性

（三）奇偶性

函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称．

1.奇函数

2.偶函数

（四）周期性

三、反函数与复合函数

（一）反函数的概念

（二）反函数的性质

（三）复合函数

四、基本初等函数

（一）幂函数： $y = x^{μ}$ （ $μ$ 为实数）

（二）指数函数： $y = a^{x}$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）

（三）对数函数： $y = lo g_{a} x (a > 0, a \neq = 1)$

（四）三角函数

1. $y = sin x$ ； $y = cos x$

2. $y = tan x$ ； $y = cot x$

3.常用的三角函数关系

（五）反三角函数

1. $y = arcsin x$

2. $y = arccos x$

3. $y = arctan x$

4. $y = arccot x$

精题演练

第二节　极限

一、数列极限

（一）数列定义

（二）数列极限的定义

（三）数列极限的性质

二、函数极限

（一）定义

1.当 $x \to x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 的极限

2.当 $x \to \infty$ 时，函数 $f (x)$ 的极限

3.左极限与右极限

（二）函数极限的性质

1.唯一性

2.局部有界性

3.四则运算法则

4.夹逼定理

（三）复合函数的极限法则

（四）无穷小与无穷大

1.定义

2.无穷小与极限、无穷小与无穷大的关系

3.无穷小量的性质

4.无穷小的比较

5.常见的等价无穷小（非常重要，必须背熟！）

6.等价无穷小的主要性质

（五）两个重要极限

1. $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

2. $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ 或者 $x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

（六）渐近线定义

1.垂直渐近线（垂直于 $x$ 轴的渐近线）

2.水平渐近线（平行于 $x$ 轴的渐近线）

3.斜渐近线

精题演练

第三节　连续性

一、函数的连续性

（一）定义

（二）左连续与右连续

（三）初等函数的连续性

二、函数的间断点

（一）定义

（二）间断点的分类

1.第一类间断点

2.第二类间断点

三、闭区间上连续函数的性质

四、内容小结

（一） $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的等价形式

（二） $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处间断的类型

精题演练

第二章　一元函数微分学

第一节　导数与微分

一、导数

（一）导数概念的实例

1.实例 1　平面曲线的切线斜率

2.实例 2　产品总成本的变化率

（二）导数

1.导数的定义

2.导函数

3.左导数与右导数

4.导数的几何意义

5.可导与连续的关系

二、函数的微分

（一）微分的定义

（二）可导与可微的关系

三、导数与微分的性质和运算

（一）基本初等函数的导数与微分公式

（二）导数与微分的四则运算法则

（三）复合函数的导数与微分

1.复合函数的导数

2.微分形式不变性

（四）隐函数的导数与微分

（五）利用复合函数求导法则

（六）对数求导法、幂指函数的求导

（七）由参数方程确定的函数的导数

四、高阶导数

（一）高阶导数的定义

（二）常见的 $n$ 阶导数公式

精题演练

第二节　微分中值定理和导数的应用

一、微分中值定理

（一）罗尔定理

（二）拉格朗日中值定理

1.拉格朗日定理

2.两个重要推论

（三）柯西中值定理

（四）泰勒中值定理

1.泰勒（Taylor）中值定理 1

2.泰勒（Taylor）中值定理 2

二、洛必达法则

（一） $\frac{0}{0}$ 型未定式极限

（二） $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式极限

（三）其他类型未定式极限

三、函数单调性与极值

（一）函数单调性判定定理

（二）函数极值的判定定理（极值点、驻点）

1.极值点定义

2.求函数极值和极值点的一般步骤

四、函数最值的判定定理

（一）函数 $y = f (x)$ 在开区间内的最值

（二）函数 $y = f (x)$ 在闭区间内的最值

（三）求实际问题的最值

五、曲线的凹凸性

（一）凹凸性的含义

（二）求函数凹凸区间和拐点的一般步骤

六、曲线的渐近线

七、函数作图

八、导数在经济问题中的应用

（一）常用的经济函数

1.需求函数

2.供给函数

商品的供应者向社会提供的商品量称为商品供给量．在经济活动中，影响商品供给量的重要因素是商品价格．记商品供给量为 $S$ ，商品价格为 $P$ ，则 $S = S (P)$ 称为供给函数．

一般地，商品的供给量随商品价格的上涨而增加．因此，商品供给函数是价格的递增函数．

产销平衡：理想状态下供给与需求处于平衡状态，即市场上的需求量等于供给量，生产的产品刚好全部卖出去．

3.成本函数

4.收益函数

5.利润函数

总利润是指生产者出售一定量的产品所得到的总收益与生产这一定量的产品投入的总成本之差，即总利润函数 $L = L (Q) = R (Q) - C (Q)$ ．

（二）边际分析

1.边际成本

2.边际收益

3.边际利润

（三）弹性分析

1.需求对价格的弹性

2.用需求弹性分析总收益的变化

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第三章　一元函数积分学

第一节　不定积分

一、不定积分概念及其性质

（一）原函数

（二）不定积分的定义

（三）不定积分的几何意义

（四）积分与微分存在互逆关系

（五）原函数存在定理

（六）不定积分的性质

二、基本积分公式

1.对角线两端乘积 $= 1$

2.倒三角：左 $^{2}$ + 右 $^{2}$ = 下 $^{2}$

3.三相邻顶点：两端相乘 = 中间

三、不定积分的换元积分法

（一）第一类换元法

（二）第二类换元法

1.当被积函数含有根式 $n a x + b$ （ $n$ 为正整数， $a, b$ 为常数，且 $a \neq = 0$ ）时

2.当被积函数含有两种或两种以上根式 $k x, \dots, l x$ 时

3.当被积函数含有根式 $a^{2} - x^{2}$ 或 $x^{2} \pm a^{2}$ 时，使用三角代换．

1.第二类换元法常见类型（必须背下来）

2.常用基本积分公式的补充（最好背下来）

（三）不定积分的分部积分法

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第二节　定积分

一、定积分的引例

二、定积分的有关概念

（一）定积分的定义

（二）定积分的存在定理

（三）定积分的几何意义

三、定积分的性质

四、定积分的计算

（一）变上限的定积分

（二）牛顿-莱布尼茨公式

（三）函数可积的条件

（四）定积分的换元积分法

（五）定积分对称性质

（六）定积分的分部积分法

五、无穷区间上的广义积分

六、定积分的应用

（一）平面图形的面积

（二）旋转体的体积

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第四章　向量代数与空间解析几何

第一节　向量代数

一、空间直角坐标系

（一）空间点的直角坐标

（二）空间两点间的距离

二、向量的概念

（一）向量的定义及其表示

（二）单位向量

（三）方向余弦

（四）向量在坐标轴上的投影

三、向量的运算

（一）线性运算

（二）向量的数量积

（三）向量的夹角

（四）向量的向量积

（五）向量积的坐标表示

四、向量间的关系

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第二节　空间平面

一、空间平面方程

（一）平面的点法式方程

（二）平面的一般式方程

（三）平面的截距式方程

二、两平面的位置关系

（一）两个平面的几种关系

1.两平面平行或重合

2.两平面相交

3.两平面垂直

（二）两平面的夹角

（三）点到平面的距离

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第三节　空间直线

一、空间直线方程

（一）直线的一般方程

（二）直线的点向式方程（标准式、点向式）

（三）直线的参数方程

（四）直线的两点式方程

二、两直线的位置关系

三、直线与平面的位置关系

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第四节　曲面方程

一、曲面方程的概念

二、曲面研究的基本问题

三、旋转曲面

四、柱面

五、二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 $F (x, y, z) = 0$ 所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面．

二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程．下面就九种二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状．

（一）椭圆锥面 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = z^{2}$

（二）椭球面 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$

（三）单叶双曲面 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$

（四）双叶双曲面 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$

（五）椭圆抛物面 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = z$

（六）双曲抛物面 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = z$

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第五章　多元函数微积分学

第一节　多元函数的基本概念

一、多元函数的概念

（一）二元函数

（二）多元函数

二、二元函数的性质

（一）二元函数的几何意义

（二）二元函数的极限

（三）二元函数的连续性

三、多元函数的性质和定理

精题演练

第二节　多元函数的偏导数与全微分

一、偏导数

（一）一阶偏导数的定义

（二）二元函数偏导数的几何意义

（三）高阶偏导数的定义

二、全微分

（一）全微分的含义和性质

（二）偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性之间的关系

（三）复合函数的偏导数

链式法则

（四）全微分形式不变性

三、隐函数的偏导数

（一）一元隐函数

（二）二元隐函数

（三）求隐函数的导数或偏导数

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第三节　多元函数的极值及应用

一、二元函数的极值及其判定

（一）定义

（二）求具有二阶连续偏导数的函数极值的步骤

（三）求函数极值流程图

二、条件极值——拉格朗日乘数法

三、方向导数与梯度

（一）方向导数

（二）梯度

第四节　二重积分的概念与性质

一、曲顶柱体

（一）求曲顶柱体体积

1.分割

2.取近似

3.求和

4.取极限

二、二重积分的概念

（一）二重积分的定义

（二）二重积分的存在性

（三）二重积分的几何意义

三、二重积分的性质

第五节　二重积分的计算

一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

三、计算二重积分

（一）步骤

（二）交换积分次序

如果给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量较大，可考虑交换积分次序，其一般步骤为：

1. 先依据给定的二次积分限，写出积分区域 $D$ 的不等式表达式，并依此画出区域 $D$ 的图形；

2. 再依区域 $D$ 的图形，按确定积分限的步骤，确定出另一种积分次序的积分限．

四、转换积分坐标形式

（一）直角坐标形式转极坐标形式

（二）极坐标形式转直角坐标形式

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第六节　三重积分

一、三重积分的概念

二、三重积分的计算

计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算．下面按利用不同的坐标来分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法．

（一）利用直角坐标计算三重积分

（二）利用柱面坐标计算三重积分

三、重积分的应用

曲面的面积

第七节　曲线积分

一、对弧长的曲线积分

（一）对弧长的曲线积分的概念与性质

（二）对弧长的曲线积分的计算法

二、对坐标的曲线积分

（一）对坐标的曲线积分的概念与性质

（二）对坐标的曲线积分的计算方法

三、格林公式

四、平面上的曲线积分与路径无关的条件

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第六章　常微分方程

第一节　微分方程的基本概念

一、定义

微分方程含有自变量，未知函数及未知函数的导数（或微分）的方程，如果微分方程中的未知函数仅含有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程，否则，称为偏微分方程．

二、微分方程的阶

方程中未知数函数导数的最高阶数 $n$ 叫作微分方程的阶，同时该方程叫作 $n$ 阶微分方程．

三、线性微分方程

微分方程中所含的未知函数及其各偏导数全是线性的．

四、微分方程的解

代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数 $y = f (x)$ ．

五、通解

解中所含任意常数相互的独立，且个数与方程的阶数相同．

六、特解

第二节　一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

二、齐次微分方程

三、一阶线性微分方程

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第三节　可降阶的高阶微分方程

一、 $y^{(n)} = f (x)$ 型的微分方程

二、 $y^{''} = f (x, y^{'})$ 型的微分方程（不含未知函数 $y$ ）

三、 $y^{''} = f (y, y^{'})$ 型的微分方程（不含自变量 $x$ ）

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第四节　常系数二阶线性齐次微分方程

一、二阶常系数线性微分方程的一般形式

二、解的结构

三、求通解的方法

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第五节　常系数二阶线性非齐次微分方程

一、常系数二阶线性非齐次通解的结构

二、常系数二阶线性非齐次方程的特解

（一） $f (x) = e^{λ x} P_{m} (x)$ 型

（二） $f (x) = e^{λ x} [P_{l} (x) cos ω x + Q_{n} (x) sin ω x]$ 型

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第七章　无穷级数

第一节　常数项级数的概念与性质

一、常数项级数的概念

二、收敛级数的主要性质

精题演练

第二节　常数项级数的审敛法

正项级数及其审敛法

（一）比较审敛法

（二）比值审敛法

（三）根值审敛法

（四）交错级数及其收敛法

（五）绝对收敛与条件收敛

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第三节　幂级数

一、函数项级数的概念

二、幂级数的收敛域

（一）幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域

（二）幂级数的收敛半径与收敛域的求法

三、幂级数的运算

（一）幂级数的加、减运算

（二）幂级数的分析运算

四、函数展开为幂级数

（一）泰勒（Taylor）级数

（二）常用函数的幂级数展开式

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第二部分　线代概率

第一章　线性代数

第一节　行列式

一、行列式的概念

（一）二阶行列式

（二）三阶行列式

（三） $n$ 阶行列式

二、行列式的性质与计算

三、把数字元素的行列式化为上三角形行列式的一般步骤

四、克莱姆法则

精题演练

第二节　矩阵

一、矩阵的概念

二、几种常见的矩阵

（一）实矩阵

所有元素均为实数的矩阵（若无声明，所讨论的矩阵均为实矩阵）．

（二）复矩阵

元素为复数的矩阵．

（三）行矩阵

（四）列矩阵

（五） $n$ 阶单位矩阵

（六）对角矩阵

（七）上三角矩阵

（八）下三角矩阵

（九）对称矩阵

三、矩阵的运算

四、几种常用的矩阵运算规律

（一）矩阵的加法

（二）矩阵的减法

（三）矩阵的数乘

（四）矩阵与矩阵相乘

（五）矩阵的转置

（六）方阵的行列式

（七）逆矩阵

（八）伴随矩阵

五、矩阵的初等变换与初等矩阵

（一）矩阵的初等变换

（二）两个矩阵等价的概念

（三）初等矩阵

精题演练

第三节　向量组及其线性相关性

一、 $n$ 维向量和向量空间

（一） $n$ 维向量的定义

（二）特殊的 $n$ 维向量

（三）向量的线性运算

二、向量组的线性相关性

（一）基本概念

（二）等价的向量组满足三个基本性质

（三）线性相关性的判别

（四）向量组的极大无关组

三、矩阵的秩

精题演练

第四节　线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组

（一）线性方程组及其初等变换

（二）齐次线性方程组

（三）齐次线性方程组的解的结构

二、非齐次线性方程组

（一）非齐次线性方程组解的判定定理

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第二章　概率论初步

第一节　随机事件及其概率

一、随机事件

二、事件间的关系及运算

（一）事件的包含与相等

（二）事件的和

（三）事件的积

（四）事件的差

定义 4　事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生，这一事件称为事件 $A$ 与事件 $B$ 的差，记作： $A - B$ ．

（五）互斥事件（或互不相容事件）

（六）互逆事件（或对立事件）

三、随机事件的概率

（一）概率的统计定义

（二）古典概型

（三）概率的加法公式

（四）概率的减法公式

（五）概率的乘法公式

（六）概率的全概率公式

四、事件的独立性

精题演练

第二节　随机变量及其分布

一、随机变量

（一）随机变量的概念

（二）离散型随机变量

（三）连续型随机变量

二、分布函数

（一）分布函数的概念

精题演练

第三节　几种常见随机变量的分布

一、几种常见离散型随机变量的分布

（一）两点分布

（二）二项分布

（三）泊松（Poisson）分布

（四）超几何分布

二、几种常见连续型随机变量的分布

（一）均匀分布

（二）指数分布

（三）正态分布

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第四节　随机变量的数字特征

一、引言

随机变量的概率分布（分布列、概率密度、分布函数）全面、完整地描述了随机变量的取值和相应的概率分布情况，但在实际应用中，存在两个问题，一是随机变量的概率分布很难求得，另一方面，需要考查随机变量取值的某些特征，如检查一大批零件的长度是否合格，不可能一个个的检查，只需随机地抽取一些测量其长度，但某一个零件的长度是否合格不能说明什么，于是求其平均长度及每个零件长度与平均长度的偏差，若每个零件长度与平均长度相差不大，而平均长度又接近于标准长度，那么，这批零件的整体质量合格，这种由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面的特征的常数就称为随机变量取值的数字特征，本节主要介绍随机变量的数学期望和方差两个数字特征．

二、数学期望

（一）离散型随机变量的数学期望

（二）连续型随机变量的数学期望

三、方差

数学期望描述的是随机变量的取值平均性的数字特征，但它并不能将随机变量的特点全部反映出来，如正态分布，当均值 $μ$ 一定时，正态曲线的形状还存在很大差异，其差异在于随机变量在 $μ$ 的周围取值的密集程度不同，对于这一数字特征，用方差来刻画．

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第一部分 高等数学

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

一、函数的概念

（一）定义

（二）表示法

（三）特殊函数

1.分段函数

2.隐函数

3.参数方程确定的函数：{x=x(t)y=y(t)​

二、函数的基本特性

（一）有界性

（二）单调性

（三）奇偶性

1.奇函数

2.偶函数

（四）周期性

三、反函数与复合函数

（一）反函数的概念

（二）反函数的性质

（三）复合函数

四、基本初等函数

（一）幂函数：y=xμ（μ 为实数）

（二）指数函数：y=ax（a>0, a=1）

（三）对数函数：y=loga​x (a>0, a=1)

（四）三角函数

1.y=sinx；y=cosx

2.y=tanx；y=cotx

3.常用的三角函数关系

（五）反三角函数

1.y=arcsinx

2.y=arccosx

3.y=arctanx

4.y=arccotx

精题演练

第二节 极限

一、数列极限

（一）数列定义

（二）数列极限的定义

（三）数列极限的性质

二、函数极限

（一）定义

1.当 x→x0​ 时，函数 f(x) 的极限

2.当 x→∞ 时，函数 f(x) 的极限

3.左极限与右极限

（二）函数极限的性质

1.唯一性

2.局部有界性

3.四则运算法则

4.夹逼定理

（三）复合函数的极限法则

（四）无穷小与无穷大

1.定义

2.无穷小与极限、无穷小与无穷大的关系

3.无穷小量的性质

4.无穷小的比较

5.常见的等价无穷小（非常重要，必须背熟！）

6.等价无穷小的主要性质

（五）两个重要极限

1.x→0lim​xsinx​=1

2.x→∞lim​(1+x1​)x=e 或者 x→0lim​(1+x)x1​=e

（六）渐近线定义

1.垂直渐近线（垂直于 x 轴的渐近线）

2.水平渐近线（平行于 x 轴的渐近线）

3.斜渐近线

精题演练

第三节 连续性

一、函数的连续性

（一）定义

（二）左连续与右连续

（三）初等函数的连续性

二、函数的间断点

（一）定义

（二）间断点的分类

1.第一类间断点

2.第二类间断点

三、闭区间上连续函数的性质

四、内容小结

（一）f(x) 在点 x0​ 处连续的等价形式

第一部分　高等数学

第一章　函数、极限与连续

第一节　函数

3.参数方程确定的函数： ${x = x (t) y = y (t)$

（一）幂函数： $y = x^{μ}$ （ $μ$ 为实数）

（二）指数函数： $y = a^{x}$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）

（三）对数函数： $y = lo g_{a} x (a > 0, a \neq = 1)$

1. $y = sin x$ ； $y = cos x$

2. $y = tan x$ ； $y = cot x$

1. $y = arcsin x$

2. $y = arccos x$

3. $y = arctan x$

4. $y = arccot x$

第二节　极限

1.当 $x \to x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 的极限

2.当 $x \to \infty$ 时，函数 $f (x)$ 的极限

1. $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

2. $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ 或者 $x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

1.垂直渐近线（垂直于 $x$ 轴的渐近线）

2.水平渐近线（平行于 $x$ 轴的渐近线）

第三节　连续性

（一） $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的等价形式

（二） $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处间断的类型

第二章　一元函数微分学

第一节　导数与微分

1.实例 1　平面曲线的切线斜率

2.实例 2　产品总成本的变化率

（二）常见的 $n$ 阶导数公式

第二节　微分中值定理和导数的应用

（一） $\frac{0}{0}$ 型未定式极限

（二） $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式极限

（一）函数 $y = f (x)$ 在开区间内的最值

（二）函数 $y = f (x)$ 在闭区间内的最值